Question

[Đức Dương]

Cho phương trình 

\(ax^2+bx+c=0\left(1\right)\)

\(cx^2+bx+a=0\left(2\right)\)

a) Chứng minh rằng 2 phương trình đã cho cùng có nghiệm hoặc cùng vô nghiệm 

b)Giả sử \(x_1,x_2\) và \(x'_1,x'_2\) lần lượt là các nghiệm của phương trình(1) và phương trình(2). Chứng minh rằng \(x_1x_2+x'_1x'_2>2\) 

Answer 1

[Lê Song Phương]

a) Xét phương trình thứ nhất, có \(\Delta_1=b^2-4ac\)

Xét phương trình thứ hai, có \(\Delta_2=b^2-4ca=b^2-4ac\)

Từ đó ta có \(\Delta_1=\Delta_2\), do đó, khi phương trình (1) có nghiệm \(\left(\Delta_1\ge0\right)\)thì \(\Delta_2\ge0\)dẫn đến phương trình (2) cũng có nghiệm và ngược lại.

Vậy 2 phương trình đã cho cùng có nghiệm hoặc cùng vô nghiệm.

b) Vì \(x_1,x_2\)là 2 nghiệm của phương trình (1) nên theo định lý Vi-ét, ta có \(x_1x_2=\frac{c}{a}\)

Tương tự, ta có \(x_1'x_2'=\frac{a}{c}\)

Từ đó \(x_1x_2+x_1'x_2'=\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\)

Nếu \(\hept{\begin{cases}a>0\\c>0\end{cases}}\)hay \(\hept{\begin{cases}a< 0\\c< 0\end{cases}}\)thì \(\hept{\begin{cases}\frac{c}{a}>0\\\frac{a}{c}>0\end{cases}}\), khi đó có thể áp dụng bất đẳ thức Cô-si cho 2 số dương \(\frac{c}{a}\)và \(\frac{a}{c}\):

\(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2\sqrt{\frac{c}{a}.\frac{a}{c}}=2\), dẫn đến \(x_1x_2+x_1'x_2'\ge2\)

Nhưng nếu \(\hept{\begin{cases}a>0\\c< 0\end{cases}}\)hay \(\hept{\begin{cases}a< 0\\c>0\end{cases}}\)thì \(\hept{\begin{cases}\frac{c}{a}< 0\\\frac{a}{c}< 0\end{cases}}\),như vậy \(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}< 0< 2\)dẫn đến \(x_1x_2+x_1'x_2'< 2\)

Như vậy không phải trong mọi trường hợp thì \(x_1x_2+x_1'x_2'>2\)